Родился 20 июня 1958 г. в г. Алма-Ате. Окончил биологический факультет КазГУ им. С.М. Кирова (1980) со специализацией по генетике. Научным руководителем его дипломной работы на тему «Генетические аспекты действия гормона гастрина и его посредников в поджелудочной железе и слизистой оболочке желудка крыс» был кандидат биологических наук (ныне – академик НАН РК) Рахметкажи Искендирович Берсимбаев. Р.М. Бияшев после окончания КазГУ был принят в Институт общей генетики АН СССР на должность стажера-исследователя, там же с октября 1982 г. продолжил учебу в очной аспирантуре. Защитил в декабре 1985 г. кандидатскую диссертацию по специальности «генетика» на тему «Полиморфизм и генетический контроль изоферментов ячменя» под руководством профессора А.А. Созинова. После окончания аспирантуры вернулся в г. Алма-Ату, стал работать в должности младшего научного сотрудника Института ботаники АН Казахской ССР, а в январе 1988 г. переведен на должность старшего научного сотрудника. В это время он являлся руководителем проекта на тему «Изучение генетического контроля морфологических, физиологических и биохимических признаков пшеницы и ячменя», в рамках которого обеспечивал научное руководство над диссертационными работами двух соискателей, а также дипломными проектами. Тематика этих работ сводилась к четырем основным моментам: электрофоретический анализ изоферментов в культуре клеток эмбрионов ячменя; связь компонентного состава запасных белков пшеницы с качеством муки; генетика и полиморфизм запасных белков и изоферментов пшеницы и ячменя; картирование генома пшеницы и ячменя с помощью биохимических маркеров.
В январе 1991 г. приглашается в международный Северо-Американский проект по картированию генома ячменя, где присоединился к группе доктора Маруфа в Вирджинском политехническом институте. Проработал в этом проекте до конца 1996 г. Научные результаты проекта опубликованы в виде статей в реферируемых журналах, а также в течение ряда лет были представлены вниманию коллег на традиционной ежегодной конференции Геном Растений (Сан-Диего, Калифорния, США). В январе 1997 г. Р.М. Бияшев активно включился в международный проект по картированию генома риса и в разработку по картированию генов устойчивости к серой ржавчине у кукурузы с помощью рестрикционных фрагментов. В это же время ему удалось посвятить некоторое время практическому изучению новых технологий актуальных для изучения геномики растений. В первую очередь, следует отметить методы по изучению глобальной экспрессии генов.
В настоящее время Р.М. Бияшев работает над проблемами улучшения некоторых питательных качеств семян сои с помощью методов геномики растений. Данные исследования базируются на изучении генетического контроля и потенциала изменчивости содержания элементов сахара и фитиковой кислоты в семенах сои, а также направлены на идентификацию этих экономически важных генов с целью их внедрения в селекционный процесс.